diketahui koordinat titik P(-4,2,-1),Q(-1,0,4),R(-7,4,-6) besar sudut QPR sama dengan.......... a.60° b.90° c.120° d.135° e.180°

Kelas : 12
Mapel : Matematika
Kategori : Vektor
Kata Kunci : Perkalian vektor, Panjang vektor
Kode : 12.2.4 (Kelas 12 Matematika Bab 4 - Vektor)

Materi :

Vektor Posisi
Vektor AB = b - a

Panjang Vektor
vektor a = (a1, a2, a3)
maka panjang vektor a adalah :
|a| = √[(a1)² + (a2)² + (a3)²]

Perkalian dua buah vektor
vektor a = (a1, a2, a3)
vektor b = (b1, b2, b3)
a . b = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

Misal sudut antara vektor a dan b adalah α, maka
a . b = |a| . |b| cos α

Pembahasan :

Diketahui koordinat titik P(-4, 2, -1), Q(-1, 0, 4), R(-7, 4, -6), besar sudut QPR sama dengan ....

sudut QPR adalah sudut antara vektor PQ dengan vektor PR yaitu kita misalkan sebagai α

PQ = q - p
PQ = (-1, 0, 4) - (-4, 2, -1)
PQ = (3, -2, 5)

|PQ| = √[3² + (-2)² + 5²]
|PQ| = √[9 + 4 + 25]
|PQ| = √38

PR = r - p
PR = (-7, 4, -6) - (-4, 2, -1)
PR = (-3, 2, -5)

|PR| = √[(-3)² + 2² + (-5)²]
|PR| = √[9 + 4 + 25]
|PR| = √38

PQ . PR = (3, -2, 5) . (-3, 2, -5)
|PQ| . |PR| cos α = 3(-3) + (-2)(2) + 5(-5)
√38 . √38 cos α = -9 - 4 - 25
38 cos α = -38
cos α = -1
cos α = cos 180°
α = 180°

Jadi besar sudut QPR adalah 180°